Assigment Pertemuan 8

Prepare freeform answer for Assigment Pertemuan 8

Silahkan pelajari lesson pertemuan 8,

Tugas: Kerjakanlah salah satu soal latihan pada pertemuan 8 tsb dengan memilih salah satu yang termudah

Status: Tercapai 100%

Keterangan: Sudah Mengerjakan

Pembuktian:

  1. Tunjukkan bahwa luas permukaan bola berjari-jari r adalah  4 π r²

Luas Permukaan Bola

Yang menemukan rumus luas permukaan bola yaitu Archimedes pada tahun 287-212 SM. Hal ini tertuang dalam karyanya yang berjudul “ on spheres and cylinders “. Archimedes menyatakan  bahwa “ sebarang tabung yang alasnya kongruen dengan lingkaran terbesar pada bola dan tingginya sama dengan diameter bola , luas permukaan tabung itu sama dengan satu setengah kali luas permukaan bola “.

Maksut dari pernyataan Archimedes ini, bahwa perbandingan luas permukaan bola dengan luas permukaan atau sisi ( termauk sisi alas dan atas ) tabung terkecil yang memuatnya adalah 2 : 3

Bila gambar  bola diatas dimasukkan dalam tabung . akan kita  peroleh bahwa jari-jari bola dan tinnggi tabung sama dengan diameter  bola, maka :

Luas permukaan bola  =  2 : 3 x Luas sisi tabung

=  2 : 3 x 2 π r ( r + t )

=  2 : 3 x 2 π r ( r + 2 r )

=  4 π r²

Jadi luas sisi ( permukaan ) bola adalah 4 π r² dengan r  jari-jari bola.

Contoh :

Hitunglah luas permukaan bola yang jari-jarinya 7 cm.( π=22/7)

Jawab

Luas Permukaan bola = 4 π r²

= 4 (22/7) x 7 x 7

= 616 cm²

Assigment Pertemuan 9

Prepare freeform answer for Assigment Pertemuan 9

 Buatlah satu contoh soal dan pembahasan untuk materi deret taylor

Status: Tercapai 100%

Keterangan: Sudah Mengerjakan

Pembuktian:

Berikut adalah formula yang dikenal dengan nama Deret Taylor.

Untuk setiap fungsi  yang diferensiabel di titik c, maka berlaku ekspansi dari  sebagai berikut.

Formula yang menakjubkan, bukan? Mungkin beberapa dari kalian sudah sakit mata, melihat formula — yang sepertinya jatuh dari langit. Di post ini, akan dijelaskan segala konsepnya mulai dari dari dasar (namun, tetap saja kalian harus paham konsep turunan, key? ^^).
=========================================================================

Teorema Taylor
(**bagian ini dapat di-skip demi kenyamanan mata**)

Sebelum beranjak ke pembuktian Deret Taylor, alangkah baiknya kita ketahui dulu adanya Teorema Taylor. Teorema ini diperkenalkan oleh orang yang sama, yaitu Brook Taylor (1715), yang bunyi teoremanya sbb.

Untuk fungsi  yang diferensiabel di titik c, maka hanya akan terdapat 1 fungsi yang memenuhi kondisi berikut.


Di sini, dibuktikan secara konsep.
Kita tak akan menemukan kesulitan membuktikan teorema itu jika  merupakan polinomial.

Untuk yang polinomial, diberikan sebuah contoh sbb.

Contoh Soal:
Diketahui . Dengan , berapakah nilai dari , dst, yang memenuhi persamaan berikut?

Jawab:
Fungsi di atas merupakan polinomial yang berderajat 3. Oleh karena itu, kita tidak perlu memperhatikan derajat yang lebih besar dari 3, seperti , dan seterusnya. Artinya, nilai yang perlu dicari adalah nilai , dan  saja. (sisanya bernilai nol).
Soal ini dapat dikerjakan dengan penjabaran biasa (yang sesungguhnya, akan lebih efektif menggunakan formula deret taylor).
 
 
Setelah dikalikan dan dijumlahkan menjadi sbb:

Dengan menghubung-hubungkan koefisien ruas kiri dan kanan, kita akan menemukan jawabannya: , dan . Jawaban ini tentunya unik.

Bisa kita lihat alasannya dari pengerjaan di atas. Nilai , dan  didapatkan secara paralel dalam koefisien-koefisien dari x.

Bagaimana dengan fungsi yang bukan polinomial?
Fungsi yang bukan polinomial, seperti , dan sebagainya dapat kita hampiri sebagai fungsi polinomial berderajat tak hingga. Masalah pun beres!!. Teorema pun terbukti untuk semua fungsi.. ^^

=========================================================================

Bukti Deret Taylor


Dari Teorema Taylor, didapat fungsi yang didefinisikan sbb:


Bagaimana jika fungsi tersebut kita turunkan 1 kali, 2 kali dan seterusnya? Hasilnya ditunjukkan di bawah.





… (dst)

Kemudian, pada fungsi awal dan fungsi-fungsi turunan tersebut, jika kita menetapkan , maka:






… (dst)

Dengan memasukkan harga , dst, maka Deret Taylor pun terbukti.


(Note: Di sini, terdapat syarat implisit yang mengharuskan  terdefinisi. Ini merupakan pelengkap dari syarat Taylor seperti yang sudah dijelaskan di atas. ^^)

Assigment pertemuan 4

Prepare freeform answer for Assigment pertemuan 4

Sebelum mengerjakan tugas, pelajari dulu lesson pertemuan 3 dan 4

Tugas:

Buatlah masing masing satu soal dan pembahasannya untuk masing masing lesson

Status: Tercapai 100%

Keterangan: Sudah Mengerjakan

Pembuktian:

Lesson Pertemuan 3 

Soal-soal integral terkadang ditanyakan dalam bentuk yang tidak sederhana, salah satunya adalah bentuk yang terdiri dari perkalian beberapa fungsi. Untuk menyelesaikan soal tersebut, bisa menggunakan cara integral parsial.

Rumus integral parsial adalah

  \[ \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \]

dimana kita perlu memilih salah satu fungsi pada soal sebagai u dan fungsi sisanya sebagai dv.

Saat mengerjakan soal integral parsial, kita perlu memilih fungsi u yang tepat dengan syarat saat u diturunkan, hasil turunannya akan lebih sederhana daripada u sendiri. Sebagai pedoman umum, gunakan urutan dibawah ini sebagai prioritas permisalan :

  1. u = \ln x
  2. u = x^n
  3. u = e^{n x}
  1. \int x \sin 2x \: \mathrm{d}x = \dots
    Tutup Jawaban

    Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u. Secara umum, pedomannya adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana. Untuk kasus ini, pilihlah u = x

      \begin{align*}          u &= x \\          \mathrm{d}u &= \mathrm{d}x        \end{align*}

    Karena memilih u = x berarti \mathrm{d}v = \sin 2x \: \mathrm{d}x

      \begin{align*}          \mathrm{d}v &= \sin 2x \: \mathrm{d}x \\          \int \: \mathrm{d}v &= \int \sin 2x \: \mathrm{d}x \\          v &= - \frac{1}{2} \cos 2x       \end{align*}

    Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

      \begin{align*}           \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\           \int x \sin 2x \: \mathrm{d}x &= x \cdot - \frac{1}{2} \cos 2x - \int - \frac{1}{2} \cos 2x \: \mathrm{d}x \\           &= - \frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x \: \mathrm{d}x \\           &= - \frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + C \\           &= - \frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C \\       \end{align*}

Lesson Pertemuan 4

Pangkat dari Secan Genap dan Positif

Tentukanlah.!! : contoh 2

Pembahasan :
Misalkan u = tan 3x, maka du = 3sec² 3x dx dan kita dapat menuliskan

jawab 2

Pada Contoh di atas, sobat dapat melihat pangkat dari tangen ganjil dan positif. sehingga sobat juga dapat menggunakan prosedur yang di jelaskan pada Panduan Point ke dua, yang kita bahas di awal tadi, Misalkan u = sec 3x, maka du = 3sec 3x tan 3x dx.

jawab 22

Jadi, Contoh di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan dua metode yakni dengan menggunakan prosedur pertama maupun prosedur yang kedua. yang membedakan hasil pengintegralan dari kedua prosedur tersebut hanyaah pada konstantanya.

Assignment Pertemuan 5

Prepare freeform answer for Assigment pertemuan 5

Pelajarilah Lesson 5,

Tugas:

Buatlah satu soal soal dan pembahasannya untuk lesson 5

Status: Tercapai 100%

Keterangan: Sudah Mengerjakan

Pembuktian:

Derajat Relasi Minimum

  1. Definisi 1 (Hasil Kali Kartesian)

Hasil kali kartesian antara himpunan A dan himpunan B, ditulis AxB adalah semua pasangan terurut (a, b) untuk a  A dan b  B.

Contoh 1

Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka

AxB = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}

Banyaknya himpunan yang terlibat dalam operasi ini mempengaruhi nama operasinya, jika operasi tersebut hanya melibatkan dua himpunan, disebut operasi biner.

Definisi 2 (Relasi)

Relasi, dilambangkan dengan huruf besar R, adalah Subset dari hasil kali Cartesian (Cartesian product). Jika (x, y)  R, maka x berelasi dengan y.

{x  A| (x, y)  R untuk suatu y  B} disebut domain dari R. Sedangkan Range dari R= {y  B| (x, y)  R untuk suatu x  A}

Contoh 2

Pada contoh 1, kita dapat membuat relasi:

R1 = {(1, a), (1, b)}

R2 = {(1, a), (2, a), (3, a)}

R3 = {(1, b), (2, b), (1, a}

R4 = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}

R5 =

R6={(a, 1), (2, a)}

Himpunan pasangan terurut R1, R2, R3, R4, R5, merupakan subset dari AxB, dan membentuk suatu relasi, tetapi R6 bukan relasi dari AxB, karena (a, 1) AxB.

Sebuah pasangan terurut menjadi anggota relasi R1, ditulis: (1, a)  R1 atau 1 R1 a. Dan jika (2, a) bukan anggota relasi R1, ditulis:

(2,a)  R1 atau 2 R1 a.

Definisi 3 (Relasi biner atas satu himpunan A)

Relasi biner atas himpunan A adalah relasi biner dari A ke A.

Relasi yang demikian ini, seringkali muncul dalam kehidupan sehari-hari, di dalam kalkulus I, kita kenal relasi dari R ke R, dari bilangan riil ke bilangan riil.

Contoh 3

Masing-masing relasi berikut adalah relasi biner atas bilangan bulat (Z):

R1 = {(a, b)| a ≥ b, dan a, b  Z}

R2 = {(a, b)| a < b, dan a, b   Z}

R3 = {(a, b)| a=b atau a=-b, dan a, b  Z}

R4 = {(a, b)| a=b, dan a, b   Z}

R5 = {(a, b)| a = b+1, dan a, b  Z}

R6 = {(a, b)| a + b ≤ 3, dan a, b   Z}

R7 = {(a, b)| a|b, dan a, b   Z, dan b≠0}

Contoh 4

D={a, b, c}

(D)={ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b,c}, {a, b, c}}

  1. Operasi Relasi

Karena relasi merupakan himpunan, maka operasi pada himpunan

juga berlaku dalam relasi:

  1. Operasi(intersection)
  2. Operasi(union)
  3. Operasi(symmetric difference)
  4. Operasi – (difference)
  5. Operasi komplemen (komplemen relative terhadap Cartesian

product)

Contoh 5

Jika A = {1, 2, 5, 6}, R1 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5)} dan

R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}, maka:

R1  R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5)}

R1  R2 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5,6)}

R1  R2 = {(5, 5), (6, 6), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}

R1 – R2 = {(5, 5), (6, 6)}

(R1  R2)  = AxA – (R1  R2) = {(1, 5), (2, 1), (2, 6), (5, 1), (5, 2),

(6, 1), (6, 2), (6, 5)}.

Operasi komposisi, merupakan gabungan dari dua buah relasi yang harus memenuhi syarat tertentu, yaitu jika R1 relasi dari A ke A dan R2 relasi dari A ke A, maka relasi komposisi R1 dan R2, dinyatakan oleh R2°R1 berarti relasi R1 diteruskan oleh relasi R2. Syarat tersebut

adalah jika (a, b)  R1 dan (b, c)  R2, maka (a, c)  R2°R1.

Contoh 6

Dengan menggunakan contoh 5, didapat:

R2°R1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 6), (2, 2), (2, 5), (5, 6), (2, 6)}

Yang diperoleh dengan cara:

Jika A = {1, 2, 5, 6}, R1 = {(1, 1), (2, 2), (5, 5), (6, 6), (2, 5)} dan

R2 = {(1, 1), (2, 2), (2, 5), (1, 2), (1, 6), (5, 6)}, maka:

R1 R2 R2◦R1 R1 R2 R2◦R1
(1,1) (1,1) (1,1) (6,6) (1,1)
(2,2) (2,2)
(2,5) (2,5)
(1,2) (1,2) (1,2)
(1,6) (1,6) (1,6)
(5,6) (5,6)
(2,2) (1,1) (2,5) (1,1)
(2,2) (2,2) (2,2)
(2,5) (2,5) (2,5)
(1,2) (1,2)
(1,6) (1,6)
(5,6) (5,6) (2,6)
(5,5) (1,1)
(2,2)
(2,5)
(1,2)
(1,6)
(5,6) (5,6)

Tentunya operasi komposisi ini tidak hanya berlaku pada relasi atas satu himpunan saja, melainkan dapat pula digunakan untuk relasi yang melibatkan dua himpunan. Jika S relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan R relasi dari himpunan B ke himpunan C, maka R°S, komposisi S diteruskan ke R adalah jika (a,b) S, dan (b,c) R, maka (a, c)  R°S.

Contoh 7

Diberikan: A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, C = {z, x, y}, S={(1, a),

(2,a), (2, b), (3, b)}, R = {(a, x), (a, y), (b, z)}. Tentukan R°S.

Untuk menjawab persoalan ini, perhatikan:

R°S = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (2, z), (3, z)}, yang didapat dari

tabel berikut:

S R R◦S S R R◦S
(1,a) (a,x) (1,x) (2,b) (a,x)
(a,y) (1,y) (a,y)
(b,z) (b,z) (2,z)
(2,a) (a,x) (2,x) (3,b) (a,x)
(a,y) (2,y) (a,y)
(b,z) (b,z) (3,z)
  1. Sifat Relasi

Sifat relasi:

  1. Reflexive:a A, maka (a, a) R
  2. Symmetry:a, b  A, jika (a, b)  R à (b, a) R
  3. Antisymmetry:a, b  A, jika (a, b)  R  a ≠ b à (b, a)  R

{ini setara dengan (a,b)  R  (b,a)  R à a=b}

  1. Transitivity:a, b, c  A, jika (a, b)  R  (b, c)  R à (a, c) R

Contoh 9:

Jika A = {1, 2, 3, 4}, berikut diberikan relasi atas A:

R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}

R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

R3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)}

R4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3),

(3,4), (4, 4)}

R6 = {(3, 4)}

R7 = {(1, 1)}

R8 = {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)}

Manakah dari kedelapan relasi di atas yang masing-masing bersifat: refleksif, simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukan simetri sekaligus bukan antisimetri.

Jawab:

Pada relasi-relasi di atas yang bersifat refleksif adalah: R3, dan R5. R1 tidak refleksif karena (3, 3) R1.

Relasi yang bersifat simetri: R2, R3, dan R7.

Relasi yang bersifat antisimetri: R4, R6, dan R7.

Relasi yang bersifat transitif: R5, R6, dan R7.

Untuk melihat R3 tidak bersifat transitif, dapat menggunakan tabel berikut:

(a,b) (b,c) (a,c) Keterangan
(1,1) (1,2) (1,2) Anggota R3
(1,2) (2,2) (1,2) Anggota R3
(1,4) (4,1) (1,1) Anggota R3
(2,1) (1,4) (2,4) Bukan Anggota R3
(2,2) (2,1) (2,1) Anggota R3

Untuk melihat R5 bersifat transitif, lihat tabel berikut:

R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,2), (2,3), (2,4), (3, 3), (3, 4),

(4, 4)}

(a,b) (b,c) (a,c) Keterangan
(1,1) (1,2) (1,2) Anggota R5
(1,2) (2,2) (1,2) Anggota R5
(1,3) (3,3) (1,3) Anggota R5
(1,4) (4,1) (1,1) Anggota R5
(2,2) (2,4) (2,4) Bukan Anggota R3
(2,2) (2,1) (2,1) Anggota R3
(2,4)
(3,3)
(3,4)
(4,4)
  1. Relasi Ekivalen

Pengertian Relasi Ekivalen

Definisi 4 (Relasi Ekivalen)

Adalah relasi yang memenuhi sifat: refleksif, simetri, dan transitif

Contoh 15

R={(a, b)| a=b atau a=-b, a, b Z}

Pada relasi ini, jelas dipenuhi a=a, a Z, berarti (a, a)  R atau bersifat refleksif.

Untuk sifat simetri, terdapat dua kemungkinan:

– Jika a=b, berarti (a, b) R,  a, b Z maka b=a, berarti (b, a) R

– Jika a=-b, berarti (a, b) R,  a, b Z maka b=-a, berarti (b,a) R, Sehingga R bersifat simetri.

Untuk sifat transitif, mempunyai empat kemungkinan:

– Jika a=b, dan b=c, maka a=c, berarti (a, c) R,  a,b,c Z

– Jika a=b, dan b=-c, maka a=-c, berarti (a, c) R,  a,b,c Z

– Jika a=-b, dan b=c, maka a=-c, berarti (a, c) R,  a,b,c Z

– Jika a=-b, dan b=-c, maka a=c, berarti (a, c) R,  a,b,c Z

Sehingga R bersifat transitif.

Jadi, R relasi ekivalen.

Contoh 16

R= {(a, b)| a-b  Z, a, b R}

Jelas kita dapatkan a-a =0 Z, berarti (a, a) R, berarti R bersifat refleksif

Jika a-b Z, maka b-a = -(a-b) Z, berarti (b, a)  R, berarti R bersifat simetri

Jika a-b Z dan b-c Z, maka a-c=(a-b) + (b-c), berarti a-c  R, berarti R bersifat transitif.

Jadi, R relasi ekivalen.

SKUP Kalkulus 2 (SP ILP)

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Hallo salam kenal bagi Mahasiswa ILP + yang baru bergabung, perkenalkan nama saya Arie Andrio biasa dipanggil Ari , saya Mahasiswa STMIK Raharja Jurusan Sistem Informasi Manajemen, saat ini saya mengambil matakuliah Kalkulus 2 SP ILP kode MT112 yang dibimbing oleh Dosen Ibu Diah Aryani.

Salam Sukses untuk kita semua semoga dapat lulus dengan hasil yang terbaik.

 

No.

Assignment

Status

Grade

1.

Assignment Pertemuan 1

Done

2.

Assignment Pertemuan 2

Done

3.

Assignment Pertemuan 3

Done

4.

Assignment Pertemuan 4

Done

5.

Assignment Pertemuan 5

Done

6.

Assignment Pertemuan 6

Done

7.

Assignment Pertemuan 7

Done

8.

Assignment Pertemuan 8

Done

9.

 Assignment Pertemuan 9 

Done

10.

Done

11.

Done

12.

Done

13.

Done

14.

Done

15.

Done

16.

Done

17.

Done

18.

Done

19.

 

Assigment pertemuan 3

Prepare freeform answer for Assigment pertemuan 3

Sebelum mengerjakan silahkan pelajari lesson 2,

Soal:

1. Tentukan volume kerucut yang mempunyai tinggi dan alasnya berjari-jari .

Dan tentukan volume kerucut dengan rumus integral benda putar dengan tinggi 10

dan jari-jari 3.

Status: Tercapai 100%

Keterangan: Sudah Mengerjakan

Pembuktian: